Während des ersten Workshops (Mai 2025) entstand eine Diskussion zum Zusammenhang der symplektischen Gruppe und der Geometrie der (linearen) Complexe.
In Vergessenheit geraten ist scheinbar, dass
- die Bezeichnung „symplektisch“ von Weyl vorgeschlagen wurde, um Verwechslungen zwischen komplexen Zahlen und Complexen der Liniengeometrie zu vermeiden, die „Symplektische Gruppe“ war in der geometrischen Literatur vorher gleichbedeutend mit der „Complexgruppe“ (s. dazu [1], Kap. VI, Fußnote S. 165]
- eine Standarddarstellung eines Complexes durch die Linienkoordinaten $p_{03}$ und $p_{12}$ in der Form $p_{03}+p_{12}$ gegeben werden kann. Eine Herleitung (in inhomogenen Punktkoordinaten) findet sich in [2], §16, „Das Nullsystem“
Schreibt man nun (s. [3], III und III.A) die Linienkoordinaten $p_{03}$ und $p_{12}$ jeweils in 2×2-Punktkoordinaten (t z) bzw. (x y) ausgedrückt durch die Bilinearformen mit der antisymmetrischen 2×2-Matrix B_{2}=[0 1, -1 0] (bzw. alternativ durch 2×2-Determinanten) mit $B_{2}^{2}=-1_{2}$, so kann man diese Darstellung des Linearen Complexes in Strahldarstellung, d.h. ausgedrückt durch homogene Punktkoordinaten (t x y z) und nach entsprechendem Umsortieren, nunmehr ausdrücken durch eine Bilinearform mit der Matrix C_{4}=[0 0 0 1, 0 0 1 0, 0 -1 0 0, -1 0 0 0], d.h. die Antisymmetrie bleibt erhalten, die Matrixelemente populieren die Nebendiagonale.
Wichtig ist nun die Beobachtung, dass diese „Identität“ sich rein auf die Darstellung bzw. deren Einbettung in eine 4×4-Darstellung bezieht!
Lineare Transformationen des Complexes „bleiben“ innerhalb der 4×4-Darstellung, sowohl bei Transformationen der Punktkoordinaten des $P^3$ als auch der Complexkoordinaten des $P^5$. Verbunden hiermit ist die Geometrie des Nullsystems, die Liniengeometrie des $P^3$ und deren Zusammenhang mit den Punkten der Plücker-Klein-Quadrik im $P^5$.
Eine naive Verallgemeinerung der „symplektischen Gruppe“ oder „symplektischer Symmetrie“ zu beliebigen Dimensionen $n=2\nu$ (s.z.B [4], Kap. 10, eq.~(10-73)) sollte also überprüfen, ob nach wie vor physikalische Äquivalenzen bekannt sind oder ob es sich um naive mathematische Verallgemeinerungen handelt. In jedem Fall muss zwischen dem Hintergrund und der reinen Darstellungstheorie unterschieden werden, und die (auch oben benutzte) Determinantentheorie (bzw. die Nutzung von „Grassmannians“) sollte bei Verallgemeinerungen als erste Leitlinie dienen.
Referenzen:
[1] Hermann Weyl, The Classical Groups, (Princeton University Press; Princeton, New Jersey 1946) 2nd edition
[2] Felix Klein, Vorlesungen über Höhere Geometrie, (Springer; Berlin 1926) 3. Auflage
[3] Rolf Dahm, On a Microscopic Representation of Space-Time V, Journal of Physics Conference Series 804(1):012013, DOI: 10.1088/1742-6596/804/1/012013
[4] Morton Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, (Pergamon Press; London, Paris 1962)